Introdução à Geometria Analítica e Álgebra Linear

Crescimento populacional e estrutura etária

9833 - Bases da Matemática e Estatística para Ciências do Mar

Fabio Cop Ferreira e William Remo Pedroso Conti

Crescimento Populacional e Estrutura Etária

Fatores que levam ao aumento ou declínio populacional Global

↗ Natalidade → Aumento no tamanho populacional

Mortalidade → Declínio no tamanho populacional

[Mapa-múndi com círculos proporcionais ao tamanho
populacional por região e gráfico de crescimento histórico]

• 1850: 1 bilhão
• 1950: 2 bilhões
• 1970: 3 bilhões

[World Population Projections —
IIASA probabilistic projections compared to UN projections]

World Population (Billions)
Eixo X: 1950–2100 | Eixo Y: 0–13 bilhões

Taxa de Crescimento = Natalidade − Mortalidade

Fatores que levam ao aumento ou declínio populacional Global

Estrutura Etária: contribuição de cada classe etária (idade) na população

[Pirâmide etária — Crescimento rápido]

Masculino | Feminino | Faixas: 0–4 até 80+

Base larga → muitos jovens
(Many young dependants)

Topo estreito → baixa expectativa de vida
(Low life expectancy)

Escala: −2,5 a +1,5 milhões

[Pirâmide etária — Crescimento lento / Envelhecimento]

Masculino | Feminino | Faixas: 0–4 até 100+

Base estreita → poucos jovens
(Few young dependants)

Topo largo → muitos idosos
(Many elderly dependants)

Escala: −2,5 a +2,5 milhões

Fatores que levam ao aumento ou declínio populacional Global

Crescimento rápido

[Pirâmide etária — Crescimento rápido (ampliada)]

Masculino (esq.) | Feminino (dir.)
Faixas etárias: 0–4 até 80+

Base muito larga → Many young dependants
Topo estreito → Low life expectancy

Escala horizontal: −2,5 a +2,5 milhões

Fatores que levam ao aumento ou declínio populacional Global

Crescimento lento / estabilização

[Pirâmide etária — Crescimento lento / Estabilização (ampliada)]

Masculino (esq.) | Feminino (dir.)
Faixas etárias: 0–4 até 100+

Base estreita → Few young dependants
Topo largo → Many elderly dependants

Escala horizontal: −2,5 a +2,5 milhões

Fatores que levam ao aumento ou declínio populacional Global

Estabilização / Decrescimento

[Pirâmide etária — Mônaco – 2014]

Masculino (azul, esq.) | Feminino (vermelho, dir.)
Faixas etárias: 0–4 até 100+

Base muito estreita & topo muito largo
→ forte envelhecimento populacional

Eixo X: −2 a +2 (Population in thousands)
Eixo central: Age Group

Porque é importante entender a estrutura e dinâmica das pirâmides populacionais?

Planejamento de serviços em diferentes níveis:
- Quantas escolas serão necessárias?
- O que será feito para cuidar da população que envelhece?
- Teremos pessoas suficientes para sustentar a base econômica e cuidar dos grupos não produtivos (idosos e crianças)?
- Mudanças culturais – estrutura familiar

[Pirâmide:
Crescimento rápido]
Many young dependants

[Pirâmide:
Crescimento lento]
Few young dependants /
Many elderly dependants

[Pirâmide:
Mônaco 2014]
Estabilização / Decrescimento

Projeção do Tamanho Populacional no Futuro

Projeção do tamanho populacional no futuro

Porque a população continuará crescendo mesmo se a taxa de fecundidade cair abaixo do nível de reposição (±2 filhos por mulher)?

[World Population Projections —
IIASA probabilistic projections compared to UN projections]

World Population (Billions) — Eixo Y: 0–13
Eixo X: 1950–2100

• UN high variant → 10,5 (2050)
• UN medium variant → 9,1
• UN low variant → 8
Pico em 9 bilhões: 2050 (UN) e 2070 (IIASA)
Em 2100: 80% chance entre 6,2 e 11,1 bilhões

A fecundidade média no mundo em 1970 era de 6,45 filhos/mulher
Em 2015 caiu para 3,89
Mesmo que a fertilidade caia, a população continuará crescendo até 2050 para atingir 9 bilhões
PORQUE?
COMO PREVER ESSA TRAJETÓRIA?

Um Modelo de Dinâmica Populacional

Um modelo de dinâmica populacional

Tempo ⟶ $S_4 = \mathbf{0}$ ↗

1. Taxa de Sobrevivência (S)

$S_1$ ↘

$S_2$ ↘

$S_3$ ↘

Classe 1
0 a 20

Classe 2
20 a 40

Classe 3
40 a 60

Classe 4
60 →+

$1 - S_1$ ↓

$1 - S_2$ ↓

$1 - S_3$ ↓

$1 - S_4 = 1$ ↓

Como prever o número de indivíduos em cada classe etária e o tamanho populacional no futuro?

Um modelo de dinâmica populacional

Tempo ⟶ $S_4 = \mathbf{0}$ ↗

1. Taxa de Sobrevivência (S)

$S_1$ ↘

$S_2$ ↘

$S_3$ ↘

$N_1$

$N_2$

$N_3$

$N_4$

$N_1 = ?$

$N_2 = S_1 \times N_1$

$N_3 = S_2 \times N_2$

$N_4 = S_3 \times N_3$

Como prever o número de indivíduos em cada classe etária e o tamanho populacional no futuro?

Um modelo de dinâmica populacional

Tempo ⟶ $S_4 = \mathbf{0}$

2. Taxa de Reposição – Fecundidade (F)

↙ $F_1$

$S_1$ ↗

$S_2$ ↗

$S_3$ ↗

$N_1$

$N_2$

$N_3$

$N_4$

$N_1 = ?$

$N_2 = S_1 \times N_1$

$N_3 = S_2 \times N_2$

$N_4 = S_3 \times N_3$

←← $F_2$ ←←←← $F_3$ ←←←←←←← $F_4$

$$N_1 = F_1 \times N_1 + F_2 \times N_2 + F_3 \times N_3 + F_4 \times N_4$$

Como prever o número de indivíduos em cada classe etária e o tamanho populacional no futuro?

Um modelo de dinâmica populacional — Um Exemplo simples

Tempo 1

Tempo 2

$N_1^{(t)} = 100$

$N_2^{(t)} = 85$

$N_3^{(t)} = 73$

$N_4^{(t)} = 63$

$N_1^{(t+1)} = F_1 \times N_1^{(t)} + F_2 \times N_2^{(t)} + F_3 \times N_3^{(t)} + F_4 \times N_4^{(t)}$

$N_2^{(t+1)} = S_1 \times N_1^{(t)}$

$N_3^{(t+1)} = S_2 \times N_2^{(t)}$

$N_4^{(t+1)} = S_3 \times N_3^{(t)}$

$N_1^{(t)} = ?$

$N_2^{(t)} = ?$

$N_3^{(t)} = ?$

$N_4^{(t)} = ?$

Matriz de Leslie

Estrutura etária, dinâmica populacional e Álgebra Linear

Matriz de Leslie

Patrick Holt Leslie
31 January 1912 – 12 October 1993

Partindo das contribuições da fecundidade e sobrevivência por classe etária,

$$\begin{cases} N_1^{(t+1)} = F_1 \times N_1^{(t)} + F_2 \times N_2^{(t)} + F_3 \times N_3^{(t)} + F_4 \times N_4^{(t)} \\ N_2^{(t+1)} = S_1 \times N_1^{(t)} \\ N_3^{(t+1)} = S_2 \times N_2^{(t)} \\ N_4^{(t+1)} = S_3 \times N_3^{(t)} \end{cases}$$

Propôs que a relação entre as classes ao longo do tempo podiam ser organizadas em formato de matriz.

$$\begin{pmatrix} N_1^{(t+1)} \\ N_2^{(t+1)} \\ N_3^{(t+1)} \\ N_4^{(t+1)} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} F_1 & F_2 & F_3 & F_4 \\ S_1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & S_2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & S_3 & 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} N_1^{(t)} \\ N_2^{(t)} \\ N_3^{(t)} \\ N_4^{(t)} \end{pmatrix}$$

Matriz de Leslie — Exemplo

Matriz de Projeção P

Tamanho das classes etárias no tempo $t+1$

$$\begin{pmatrix} N_{1,t+1} \\ N_{2,t+1} \\ N_{3,t+1} \\ N_{4,t+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0{,}9 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0{,}8 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0{,}5 & 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 30 \\ 75 \\ 320 \\ 572 \end{pmatrix}$$

Tamanho das classes etárias no tempo $t$

[Gráfico: Dinâmica das classes etárias ao longo do tempo]

Eixo Y: Tamanho Populacional (0 a 10.000)
Eixo X: Tempo em anos (1 a 10)

Curvas (crescimento exponencial a partir de N⁰ = [30, 75, 320, 572]):
• $N_1$ (preto sólido) → ~9.000 no ano 10
• $N_2$ (vermelho) → ~6.000
• $N_3$ (verde pontilhado) → ~2.500
• $N_4$ (azul pontilhado) → ~1.500

Matriz de Leslie — Exemplo

Matriz de Projeção P

A matriz de projeção P determina qual será o formato da estrutura etária populacional, ou seja, as contribuições proporcionais de cada classe.

[Pirâmide: Crescimento rápido]

Many young dependants
Low life expectancy

[Pirâmide: Crescimento lento]

Few young dependants
Many elderly dependants

[Pirâmide: Mônaco 2014]

Estabilização / Decrescimento

Matriz de Leslie

Matriz de Projeção P

Em notação matricial

$$\mathbf{N^{(t+1)} = P \times N^{(t)}}$$

Projetando o tamanho populacional no futuro

$\mathbf{N^{(1)} = P \times N^{(0)}}$

$\mathbf{N^{(2)} = P \times N^{(1)} = P \times P \times N^{(0)} = P^2 \times N^{(0)}}$

$\mathbf{N^{(3)} = P \times N^{(2)} = P \times P \times N^{(1)} = P \times P \times P \times N^{(0)} = P^3 \times N^{(0)}}$

$\mathbf{N^{(t+1)} = P^{t+1} \times N^{(t)}}$