A Geometria e a Álgebra de Vetores
9833 - Bases da Matemática e Estatística para Ciências do Mar
Fabio Cop Ferreira e William Remo Pedroso Conti
Conteúdo da aula
- Definição de Vetores
- Vetores no Plano Cartesiano
- Igualdade de Vetores
- Soma de vetores
- Multiplicação de um vetor por um escalar
- Vetores em $\mathbb{R}^3$
- Vetores em $\mathbb{R}^n$
- Propriedades Algébricas dos Vetores
Vetores
Segmento de reta orientado que representa o deslocamento do ponto de origem até um ponto de destino. O vetor de A até B é denotado por $\mathbf{AB}$, ou $\vec{AB}$. O ponto A é chamado de ponto inicial (ou origem) do vetor, enquanto o ponto B é chamado de ponto final (ou extremidade). Frequentemente, um vetor é representado por letra minúscula em negrito, como $\mathbf{v}$ ou ainda por $\vec{v}$.
- Comprimento: distância entre o ponto inicial e o ponto final do vetor.
- Direção: orientação do vetor no espaço, definida pelo ângulo que faz com os eixos coordenados.
Vetores no Plano Cartesiano
- O ponto $A$ pode ser representado pelo vetor posição que tem início na origem $O$ e termina no ponto $A$.
- As coordenadas dos vetores são chamadas de componentes do vetor
$\vec{a} = [-9, 4]$,
$\vec{b} = [-4, 10]$,
$\cdots$
$\vec{e} = [8, -8]$
Vetores no Plano Cartesiano
- Um vetor pode ter origem no ponto A e destino no ponto B.
$\vec{AB} = B - A = [-4, 10] - [-9,4] = [5, 6]$
$\vec{CB} = B - C = [-4, 10] - [-1,-3] = [3, 13]$
$\vec{DE} = E - D = [8, -8] - [4,8] = [4, -16]$
Igualdade de Vetores
Considere:
$A = [-4, -2]$
$B = [4, 6]$
$C = [-3, -6]$
$D = [5, 2]$
$E = [-9, 2]$
$F = [3, 8]$
Igualdade de Vetores
Sejam:
$\vec{AB} = B - A = [4, 6] - [-4, -2] = [8, 8]$
$\vec{CD} = D - C = [5, 2] - [-3, -6] = [8, 8]$
$\vec{EF} = F - E = [3, 8] - [-9, 2] = [11, 6]$
Então:
$\vec{AB} = \vec{CD} \ne \vec{EF}$
$\vec{AB} \ne \vec{BA}$
$\vec{BA} = A - B = [-4, -2] - [4, 6] = [-8, -8]$
Soma de vetores
$\vec{u} = [u_1, u_2]$, $\vec{v} = [v_1, v_2]$
$\vec{u} + \vec{v} = [u_1, u_2] + [v_1, v_2] = [u_1 + v_1, u_2 + v_2]$
$\vec{u} = [1, 2]$, $\vec{v} = [5, 3]$
$\vec{u} + \vec{v} = [1, 2] + [5, 3] = [1 + 5, 2 + 3]$
$\vec{u} + \vec{v} = [6, 5]$
Multiplicação de um vetor por um escalar
Seja um escalar $k$ e um vetor $\vec{v}$:
$k \vec{v} = k [v_1, v_2] = [kv_1, kv_2]$
Para $\vec{v} = [-2, 4]$:
$2 \vec{v} = [2(-2), 2(4)] = [-4, 8]$
$\frac{1}{2} \vec{v} = \left[\frac{1}{2}(-2), \frac{1}{2}(4)\right] = [-1, 2]$
$-2 \vec{v} = [-2(-2), -2(4)] = [4, -8]$
Vetores em $\mathbb{R}^3$
O conjunto de todas as triplas ordenadas de números reais é denotado por $\mathbb{R}^3$.
$\vec{v} = [v_1, v_2, v_3]$
Todas as definições de $\mathbb{R}^2$ valem para $\mathbb{R}^3$.
Vetores em $\mathbb{R}^n$
Em $\mathbb{R}^n$, o conjunto de todas as n-uplas ordenadas de números reais, os vetores podem ser representados como linhas ou colunas, com suas entradas denominadas componentes.
$\vec{v} = [v_1, v_2, \ldots, v_n]$
As operações de adição de vetores e multiplicação por escalar são definidas de maneira natural. Por exemplo, para os vetores $\vec{u} = [u_1, u_2, \ldots, u_n]$ e $\vec{v} = [v_1, v_2, \ldots, v_n]$, a i-ésima componente de $\vec{u} + \vec{v}$ é $u_i + v_i$, e a i-ésima componente de $k\vec{v}$ é $kv_i$.
Propriedades Algébricas de Vetores em $\mathbb{R}^n$
Sejam $\vec{u}$, $\vec{v}$ e $\vec{w}$ vetores em $\mathbb{R}^n$, e $k$ e $l$ escalares. Então:
| Propriedade | Descrição | |
|---|---|---|
| 1 | $\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}$ | Comutatividade |
| 2 | $(\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w} = \vec{u} + (\vec{v} + \vec{w})$ | Associatividade |
| 3 | $\vec{u} + \vec{0} = \vec{u}$ | |
| 4 | $\vec{u} + (-\vec{u}) = \vec{0}$ | |
| 5 | $k(\vec{u} + \vec{v}) = k\vec{u} + k\vec{v}$ | Distributividade |
| 6 | $(k + l)\vec{u} = k\vec{u} + l\vec{u}$ | Distributividade |
| 7 | $k(l\vec{u}) = (kl)\vec{u}$ | |
| 8 | $1\vec{u} = \vec{u}$ |
Combinações Lineares
Uma combinação linear de vetores é um vetor obtido como a soma ponderada de outros vetores, onde cada vetor é multiplicado por um escalar.
Formalmente, um vetor $\vec{v}$ é dito ser uma combinação linear dos vetores $\vec{v}_1, \vec{v}_2, \ldots, \vec{v}_k$ se existirem escalares $c_1, c_2, \ldots, c_k$ tais que:
$$\vec{v} = c_1 \vec{v}_1 + c_2 \vec{v}_2 + \cdots + c_k \vec{v}_k$$
Os escalares $c_1, c_2, \ldots, c_k$ são chamados de coeficientes da combinação linear. Em outras palavras, $\vec{v}$ é construído a partir dos vetores $\vec{v}_1, \vec{v}_2, \ldots, \vec{v}_k$ pela combinação dos seus múltiplos escalares. Essa definição é fundamental na álgebra linear, pois permite a construção de vetores em um espaço vetorial a partir de uma base de vetores dados.
Combinações Lineares
Considere os vetores $\vec{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ e $\vec{v}_2 = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$ no espaço $\mathbb{R}^2$ e os escalares $c_1 = 2$ e $c_2 = -1$.
$$\vec{v} = c_1 \vec{v}_1 + c_2 \vec{v}_2$$
$\vec{v} = 2 \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} + (-1) \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 1 \\ 2 \cdot 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 \cdot 3 \\ -1 \cdot 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -3 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 - 3 \\ 4 - 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \end{pmatrix}$
Portanto, o vetor $\vec{v} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \end{pmatrix}$ é uma combinação linear dos vetores $\vec{v}_1$ e $\vec{v}_2$ com os coeficientes dados $c_1 = 2$ e $c_2 = -1$.
Para visualizar a ideia de combinações lineares, acesse o GeoGebra.