Comprimento e ângulo: o produto escalar

Sejam $\vec{u}$, $\vec{v}$ e $\vec{w}$ vetores em $\mathbb{R}^n$, e $k$ um escalar. Então:

$$ \vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}; \vec{v} = \begin{pmatrix} -3 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix} $$

$$\vec{u} \cdot \vec{v} = 1 \times (-3) + 2 \times 5 + (-3) \times 2 = -3 + 10 - 6 = 1$$

O comprimento de um vetor (magnitude ou norma), é uma medida da extensão do vetor no espaço. Para um vetor $\vec{v} = (v_1, v_2, \ldots, v_n)$ em um espaço euclidiano n-dimensional, o comprimento é:

$$ \|\vec{v}\| = \sqrt{\vec{v} \cdot \vec{v}} = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + \cdots + v_n^2} $$

Seja $\vec{u}$ um vetor em $\mathbb{R}^n$, e $k$ um escalar. Então:

$$ \vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}; \vec{v} = \begin{pmatrix} -3 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix} $$

$\|\vec{u}\| = \sqrt{\vec{u} \cdot \vec{u}} = \sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2}$ $\|\vec{u}\| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14} \approx 3.742$

$\|\vec{v}\| = \sqrt{\vec{v} \cdot \vec{v}} = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2}$ $\|\vec{v}\| = \sqrt{(-3)^2 + 5^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 25 + 4} = \sqrt{38} \approx 6.164$

Um vetor é um vetor de comprimento 1 é chamado vetor unitário. $\vec{v}$ é unitário se $\|\vec{v}\| = 1$

Normalização de um vetor

Dado qualquer vetor não nulo $\vec{v}$, podemos sempre encontrar um vetor unitário de mesmo sentido que $\vec{v}$ dividindo $\vec{v}$ por seu próprio comprimento (ou, equivalentemente, multiplicando por $\frac{1}{\|\vec{v}\|}$).

Portanto o vetor $\vec{u}$ será unitário se:

$\vec{u} = \left(\frac{1}{\|\vec{v}\|}\right)\vec{v}$

pois:

$$ \|\vec{u}\| = \left\|\left(\frac{1}{\|\vec{v}\|}\right)\vec{v}\right\| = \left| \frac{1}{\|\vec{v}\|} \right| \|\vec{v}\| = \left(\frac{1}{\|\vec{v}\|}\right)\|\vec{v}\| = 1 $$

$\vec{u}$ possui o mesmo sentido que $\vec{v}$, pois $\frac{1}{\|\vec{v}\|}$ é um número positivo.

A distância (ou distância euclideana) entre dois vetores $\vec{u} = (u_1, u_2, \ldots, u_n)$ e $\vec{v} = (v_1, v_2, \ldots, v_n)$ é uma medida da separação entre os dois pontos finais desses vetores no espaço n-dimensional, calculada:

$$ d(\vec{u}, \vec{v}) = \|\vec{u} - \vec{v}\| = \sqrt{(u_1 - v_1)^2 + (u_2 - v_2)^2 + \cdots + (u_n - v_n)^2} $$

$$ \vec{u} = \begin{pmatrix} \sqrt{2} \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}; \vec{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} $$

$$ d(\vec{u}, \vec{v}) = \|\vec{u} - \vec{v}\| = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{4} = 2 $$

O Produto escalar pod ser utilizado para determinar o ângulo $\theta$ entre dois vetores não mulos $\vec{u}$ e $\vec{v}$ por meio da expressão.

$$ \cos(\theta) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|} $$

Exemplo: Considere os vetores $\vec{u} = (2, 3)$ e $\vec{v} = (-3, 2)$ em $\mathbb{R}^2$. Para verificar se são ortogonais:

1. Calcular o produto escalar $\vec{u} \cdot \vec{v}$:

   $$\vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \cdot (-3) + 3 \cdot 2 = -6 + 6 = 0$$

2. Calcular as normas $\|\vec{u}\|$ e $\|\vec{v}\|$:

   $$\|\vec{u}\| = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$$

   $$\|\vec{v}\| = \sqrt{(-3)^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$$

3. Calcular $\cos(\theta)$:

   $$\cos(\theta) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|} = \frac{0}{\sqrt{13} \cdot \sqrt{13}} = 0$$

4. Calcular $\theta$:

   $$\theta = \cos^{-1}(0) = \frac{\pi}{2}$$